Модель склада
Рассмотрим очень простой пример, иллюстрирующий методику построения динамических математических моделей с дискретным S и непрерывным t временем.

Создадим математическую модель склада продукции. На склад постоянно поступает продукция и постоянно вывозится.

Нашей задачей является найти математические зависимости, позволяющие определить количество продукции, которая находится в данный момент на складе. Уровень запаса на складе в непрерывный момент времени t определим через функцию z(t), поступление на склад в единицу времени опишем функцией p(t), а расход со склада q(t). Рассмотрим график поступления товаров на склад в единицу времени. Интервал времени между последующим и предыдущем моментами времени называется интервалом квантования по времени At.

Введем обозначения: t - непрерывное время; s - дискретное время;
At - интервал квантования по времени, обозначающий длительности одного временного такта. t=sAt,
P[s]=p(ts)At,
z(t=ts)=z(t,)=z[s]=zs

Очевидно, что количество товара на складе в следующий момент времени (s+1) будет равно количеству z[s] в текущий момент плюс текущее поступление p[s] и минус расход q[s]. Математическая запись этого факта и есть математическая модель склада:

z[s+l]=z[s]+p[s]-q[s]  или для момента времени s: z[s]= z[s-l]+p[s-l]=-q[s-l].

Эта модель описывает процесс в однономенклатурном складе. Что происходит в многономенклатурном складе, на котором находится N видов продукции? Уравнение будет таким же, только z, р, q будут векторными величинами размерности и N вида.

Это есть математическая модель склада с дискретным временем. Теперь выведем соотношения для непрерывного времени. С учетом принятых обозначений запишем уравнение в следующем виде:
z[s+l]= z(t +At)= z(ts)+p(ts) At -q(ts) At.

Произведем преобразования:
z(t+At)- z(ts) = Az = p(ts) At -q(ts) At = [(p(ts) -q(ts))] At,
[z(t + A t)- z(ts)]/At =Az/ At =p(t>q(ts), где Az=z(t+At)-z(ts).

При переходе к непрерывному времени интервал между двумя моментами времени должен стремиться к нулю, At -> 0, ts-»t.

Следовательно,
lim(Az/ At)=dz/dt=p(t3) -q(ts),
At->0
dz/dt=p(t)-q(t),
где dz, dt - дифференциалы или бесконечно-малые приращения, текущее время t
z'(t)=p(t)-q(t)

Следовательно,
z'=p-q

Уравнение является математической моделью склада в непрерывном времени.
Оптимизационные модели линейного программирования.

К задачам линейного программирования, в которых используются линейные модели приводятся: задача о смесях, транспортная задача, линейная модель оптимального планирования производства.

Пример: Задача о смесях
Пусть имеется n исходных (сырьевых) продуктов: П15 П2, П с соответствующими ценами за единицу продукта с1,с2,...,сn . Содержание j - го ценного компонента в i - м исходном (сырьевом) продукте обозначим а... Необходимо приготовить такую смесь (питательный рацион, шихту - в производстве стекла, в металлургии, смеску - в производстве асбестоцементных изделий и т.д.), т.е. определить такие доли и. чтобы содержание в ней j - го ценного компонента, например, белков, углеводов, жиров и др. было не меньше (либо не больше, либо равно) требуемого значения 2>j Естественно, что доли и. не могут быть отрицательными.

При этом цена W смеси должна быть минимальной W ~» min Математическая модель задачи имеет вид:
W = Ecu. = cTu -> min
Л 1u1 + aj2u2 + ...+ ajiui+... a^b.
или
Аи > В, а>0,

Минимум находится по вектору и Таким образом, модель имеет вид:
W = Ecu. = cTu -> min, (3 4)

Au > В, u.>0, (3.5)
где u=(u1)U2, ...,u)T, c=(c,,c2, ...,cn)T A= {aj, i = 1,2, ...n; j = 1,2,k, - матрица, В = {b.} = (bpbv bj1- вектор, T- знак транспонирования.